비선형 동역학은 종종 복잡하고 예측 불가능한 행동을 유발할 수 있습니다. 이 현상은 물리학자와 수학자들에게 모두 흥미롭고 도전적인 현상입니다. 이러한 시스템의 고전적인 예로는 더핑 오실레이터(Duffing's oscillator)가 있습니다. 이는 주도 고조파 진동자의 비선형 버전으로, 카오스적인 행동으로 알려져 있으며 계산 실험의 매력적인 주제로 활용됩니다.
더핑 오실레이터의 운동 방정식은 다음과 같습니다:
여기서 ¨x는 가속도, ˙x는 속도, x는 변위를 나타냅니다. γ, a, b, F 및 ω는 시스템의 특정 행동을 정의하는 상수입니다.
- γ: 시스템에 작용하는 마찰력을 나타내는 감쇠 계수입니다.
- a 및 b: 선형 및 비선형 진동자의 강성을 각각 제어하는 매개변수입니다. 항 4bx3는 비선형성을 도입합니다.
- F 및 ω: 외부 구동력의 진폭 및 주파수를 각각 나타냅니다.
보이는 것처럼 간단한 이 방정식은 비선형 역학과 혼돈의 본질을 담고 있습니다.
더핑 진동자(Duffing's oscillator)를 해결하기 위해 우리는 v=˙x로 정의를 시작합니다. 이는 2차 미분 방정식을 다음과 같이 변환합니다...